الجبر الخطي عمليًا

طريقان إلى نفس الفكرة

قبل أن تبدأ

الفكرة الجوهرية

ثلاث أفكار بالترتيب: المتجه كمعنى، ثم الضرب النقطي والتشابه الجيبي كقياس للتشابه، ثم المصفوفة كتحويل.

1المتجه كمعنى

المتجه قائمة أرقام تمثّل شيئًا واحدًا. هنا كل مستند يُمثَّل بعدد مرات ظهور أربع كلمات فيه.

انظر إلى الرسم: المستند a فيه «شبكة» مرتين و«تدريب» ثلاث مرات، ولا يذكر الطبخ أبدًا.

كل رقم يقيس بعدًا من المعنى، فيصير المستند نقطة في فضاء. والقرب في هذا الفضاء يعني التشابه، وهو المكان الذي يعمل فيه كل بحث متجهي ستبنيه.

2الضرب النقطي: اضرب واجمع

اضرب العنصرين المتقابلين في كل موضع، ثم اجمع النواتج. انظر إلى الرسم: ناتج كل كلمة بين المستندين a وb.

الرقم يكبر حين يتّفق المتجهان في الاتجاه، ويصير صفرًا حين لا يشتركان في شيء. وهذه العملية الواحدة هي جوهر الطبقة الكثيفة وجوهر الانتباه.

3التشابه الجيبي: اقسم على الطول

للضرب النقطي الخام عيب: المستند الطويل أرقامه أكبر، فيبدو أنه يشبه كل شيء. الحل أن تقسم على طولي المتجهين، فتقارن الاتجاه وحده.

import numpy as np

vocab = ["شبكة", "تدريب", "بيانات", "طبخ"]
doc_a = np.array([2, 3, 1, 0])
doc_b = np.array([1, 2, 2, 0])
doc_c = np.array([0, 0, 1, 4])


def cosine(u, v):
    return float(u @ v) / (float(np.linalg.norm(u)) * float(np.linalg.norm(v)))


print(int(doc_a @ doc_b))
print(f"a.b = {cosine(doc_a, doc_b):.3f}")
print(f"a.c = {cosine(doc_a, doc_c):.3f}")
print(f"b.c = {cosine(doc_b, doc_c):.3f}")

المستندان الأول والثاني عن الشبكات والتدريب فتشابههما 0.891، والثالث عن الطبخ فتشابهه مع الأول 0.065 أي قريب من الصفر. لم نستخدم أي نموذج هنا، فقط أربعة أرقام وزاوية بينها. هذه هي النواة التي ستبني عليها الاسترجاع كله.

4المصفوفة كتحويل

المصفوفة تأخذ متجهًا وتعيد متجهًا آخر: تدوّره أو تمدّه أو تفعل الاثنين. انظر إلى الرسم: النقطة [2, 1] قبل التحويل وبعد كل تحويل.

import numpy as np

rotate = np.array([[0.0, -1.0], [1.0, 0.0]])
stretch = np.array([[3.0, 0.0], [0.0, 1.0]])
point = np.array([2.0, 1.0])

print([round(float(v), 1) for v in rotate @ point])
print([round(float(v), 1) for v in stretch @ point])
print([round(float(v), 1) for v in (stretch @ rotate) @ point])
print([round(float(v), 1) for v in (rotate @ stretch) @ point])
print(round(float(np.linalg.norm(point)), 3))

لاحظ السطرين الثالث والرابع: stretch @ rotate أعطى [-3.0, 2.0] وrotate @ stretch أعطى [-1.0, 6.0]‏. نفس التحويلين وترتيب مختلف ونتيجة مختلفة، ولهذا ترتيب الطبقات في الشبكة ليس تفصيلًا شكليًا.

كل طبقة في الشبكة مصفوفة تحوّل متجهًا إلى آخر، والتدريب هو تعديل أرقامها حتى يصير التحويل مفيدًا. ولأن الترتيب يغيّر النتيجة، فترتيب الطبقات ليس تفصيلًا شكليًا.

كيف يعمل، خطوة بخطوة: كيف يُحسب التشابه الجيبي بين مستندين

مثال محلول

جرّب بلا كود

خرافة مقابل حقيقة

جرّب بنفسك

بطاقات مراجعة سريعة

تحقق من فهمك